Was ist gauß verfahren?

Gauß-Verfahren (Gauß-Elimination)

Das Gauß-Verfahren, auch Gauß-Elimination genannt, ist ein Algorithmus der linearen Algebra zur Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS). Es dient dazu, ein gegebenes LGS in eine äquivalente, aber einfachere Form zu überführen, aus der die Lösung direkt abgelesen werden kann. Diese einfachere Form ist die Zeilenstufenform (ZSF) oder, falls weitergeführt, die reduzierte Zeilenstufenform (RZSF).

Hauptanwendungsbereiche:

• Lösung linearer Gleichungssysteme
• Berechnung der inversen Matrix (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Inverse%20Matrix)
• Bestimmung des Rangs einer Matrix (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Rang%20einer%20Matrix)
• Berechnung von Determinanten (https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Determinante)

Vorgehensweise:

Das Gauß-Verfahren basiert auf elementaren Zeilenumformungen, die die Lösungsmenge des LGS nicht verändern. Diese Umformungen sind:

1. Vertauschen zweier Zeilen
2. Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null
3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

Ziel:

Das Ziel der Gauß-Elimination ist es, die Koeffizientenmatrix des LGS durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform (ZSF) zu bringen. Eine Matrix ist in Zeilenstufenform, wenn:

• Alle Nullzeilen (Zeilen, die nur aus Nullen bestehen) unterhalb aller Nicht-Nullzeilen liegen.
• Der erste Eintrag ungleich Null (das "führende Element" oder "Pivot-Element") in jeder Nicht-Nullzeile sich rechts vom führenden Element der Zeile darüber befindet.

Rückwärtsrechnung (Rücksubstitution):

Sobald die Matrix in Zeilenstufenform ist, kann die Lösung des LGS durch Rückwärtsrechnung (auch Rücksubstitution genannt) ermittelt werden. Dabei wird die letzte Gleichung des umgeformten Systems nach der letzten Unbekannten aufgelöst und diese Lösung in die vorletzte Gleichung eingesetzt, um die vorletzte Unbekannte zu bestimmen. Dieser Vorgang wird fortgesetzt, bis alle Unbekannten gefunden sind.

Reduzierte Zeilenstufenform (RZSF):

Wenn die Gauß-Elimination weitergeführt wird, um die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform (RZSF) zu bringen, sind die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Die Matrix ist in Zeilenstufenform.
• Das führende Element jeder Nicht-Nullzeile ist gleich 1.
• Alle Einträge oberhalb und unterhalb eines führenden Elements sind gleich 0.

In der RZSF kann die Lösung des LGS direkt abgelesen werden.

Besonderheiten:

• Singuläres LGS: Wenn während der Gauß-Elimination eine Nullzeile entsteht, deutet dies auf ein singuläres LGS hin. Dies bedeutet, dass das LGS entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat.
• Pivotisierung: Um numerische Stabilität zu gewährleisten, kann es notwendig sein, Zeilen zu vertauschen (Pivotisierung), um sicherzustellen, dass das Pivot-Element (das Element, das verwendet wird, um andere Einträge in derselben Spalte zu eliminieren) einen möglichst großen Betrag hat.